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RESOLUÇÃO ESPM 2014 - QUESTÃO SOBRE PROGRESSÃO ARITMÉTICA      ( ESPM 2014 ) Dois irmãos começaram juntos a guardar dinheiro para uma viagem. Um deles guardou  R$ 50,00  por mês e o outro começou com  R$ 5,00  no primeiro mês, depois  R$  10,00  no segundo mês,  R$ 15,00  no terceiro e assim por diante, sempre aumentando R$ 5,00 em relação ao mês anterior. Ao final de um certo número de meses, os dois tinham guardado exatamente a mesma quantia. Esse número de meses corresponde a: a) pouco mais de um ano e meio. b) pouco menos de um ano e meio. c) pouco mais de dois anos. d) pouco menos de um ano. e) exatamente um ano e dois meses. RESOLUÇÃO     Para iniciar este exercício, nos atentemos a informação mais importante dita no enunciado: a o final de um certo número de meses, os dois tinham guardado exatamente a mesma quantia .     Ou seja, depois de um certo tempo, a quantia juntada por um irmão era igual à quantia juntada pelo outro irmão.       Em outras palavras: o irmão que começou ju

RESOLUÇÃO UERJ 2014 - QUESTÃO SOBRE PROGRESSÃO ARITMÉTICA      ( UFJF-MG ( PISM )) Em 2004, foi realizada, em Atenas, a 28ª Olimpíada da era moderna, evento esportivo que acontece de quatro em quatro anos. Com base nessas informações, pode-se afirmar que a edição da Olimpíada de 1948 e o ano de 50ª  Olimpíada da era moderna, supondo que não haja interrupção, são, respectivamente: a) 14ª  e 2200 b) 15ª  e 2204 c) 15ª  e 2086 d) 14ª  e 2092 e) 17ª  e 2092 RESOLUÇÃO     Temos, neste exercício, que responder duas perguntas: qual era a edição da Olimpíada que ocorreu no ano de 1948 e quando ocorrerá a 50ª edição.     Podemos usar a fórmula do termo geral para responder a primeira pergunta, no entanto, n ão temos o primeiro termo da P.A. , o que nos impede de realizar o cálculo.      Porém, podemos achar o primeiro termo da P.A. através dos dados fornecidos no enunciado, onde é dito que em 2004 ocorreu a 28ª edição da Olimpíada. Além disso, também é citado que tal evento acontece a cada 4

RESOLUÇÃO UERJ 2014 - QUESTÃO SOBRE PROGRESSÃO ARITMÉTICA      ( UERJ 2014 ) Admita a realização de um campeonato de futebol no qual as advertências recebidas pelos atletas são representadas apenas por cartões amarelos. Esses cartões são convertidos em multas, de acordo com os seguintes critérios: Os dois primeiros cartões recebidos não geram multas; O terceiro cartão gera multa de R$500,00; Os cartões seguintes geram multas cujos valores são sempre acrescidos de R$500,00 em relação ao valor da multa anterior;      No quadro, indicam-se as multas relacionadas aos cinco primeiros cartões aplicados a um atleta.      Considere um atleta que tenha recebido 13 cartões amarelos durante o campeonato. O valor total, em reais, das multas geradas por todos esses cartões equivale a: a)30 000 b)33 000 c)36 000 d)39 000 RESOLUÇÃO     Iniciemos nosso exercício analisando as informações concedidas pelo enunciado.     O atleta receberá multas no valor de R$ 500,00 + o valor da multa anterior pelas fal

RESOLUÇÃO PUC-RJ 20178 - QUESTÃO SOBRE PROGRESSÃO ARITMÉTICA      ( PUC-RJ 2018 ) Sabendo que os números da sequência (y, 7, z, 15) estão em progressão aritmética, quanto vale a soma y + z? a) 20 b) 14 c) 7 d) 3,5 e) 2 RESOLUÇÃO     Para iniciarmos o nosso exercício, relembremos uma propriedade importante da P.A .     Sabemos que, em uma progressão aritmética, a o pegarmos três termos consecutivos, o termo do meio é igual à média dos outros dois termos .     Ou seja, ao selecionarmos três termos consecutivos de uma P.A., somarmos e depois dividirmos o valor da soma por 2, chegaremos ao termo do meio.     Dito isso, podemos usar tal propriedade para descobrirmos o valor de z , uma vez que temos o valor anterior e posterior a z. Sendo assim, teremos então:     Sabemos, então, que z vale 11. Basta, agora, descobrirmos o valor de y para somarmos com o valor de z e fechar a resolução.     Para acharmos o valor de y , recorreremos a outra propriedade que nos diz que, para descobrirmos o v

     RESOLUÇÃO IF-RS 2017 - QUESTÃO SOBRE PROGRESSÃO ARITMÉTICA      ( IFRS 2017 )  Na figura abaixo, temos uma sequência de retângulos, todos de altura a.  A base do primeiro retângulo é b e dos retângulos subsequentes é o valor da base do anterior mais uma unidade de medida. Sendo assim, a base do segundo retângulo é b+1 e do terceiro b+2 e assim sucessivamente.      Considere as afirmativas abaixo. I - A sequência das áreas dos retângulos é uma progressão aritmética de razão 1. II - A sequência das áreas dos retângulos é uma progressão aritmética de razão a. III - A sequência das áreas dos retângulos é uma progressão geométrica de razão a. IV - A área do enésimo retângulo (An) pode ser obtida pela fórmula An = a . (b + n - 1).      Assinale a alternativa que contém a(as) afirmativa(s) correta(s).      a) I. b) II. c) III. d) II e IV. e) III e IV. RESOLUÇÃO     Proponho começarmos relembrando o cálculo da área de um retângulo, pois o exercício trata da progressão envolvendo uma dos l

RESOLUÇÃO PUC-RJ 2005 - QUESTÃO SOBRE CONJUNTOS     ( PUC-RJ 2005 ) Se A, B e C são três conjuntos onde n (A) = 25, n (B) = 18, n (C) = 27, n (A ∩ B) = 9, n (B ∩ C) = 10, n (A ∩ C) = 6 e n (A ∩ B ∩ C) = 4, (sendo n (X) o número de elementos do conjunto X), determine o valor de n ((A U B) ∩ C). RESOLUÇÃO            Para acharmos o resultado equivalente a n((A U B) ∩ C), vamos, antes de tudo,  entender dois pontos importantes para a resolução deste problema .      O primeiro se refere a propriedade distributiva que usaremos na resolução deste problema. Tal propriedade nos diz que, quando temos um número multiplicando uma soma ou uma subtração, basta multiplicarmos separadamente cada termo e depois somarmos ou subtrairmos, dependendo do caso.      Essa técnica é muito conhecida como chuveirinho , pois o “distribuímos” a multiplicação “em cima” dos números dentro do parenteses. A seguir temos um exemplo:     Neste caso podíamos, primeiramente, ter somado 5 + 10 e depois multiplicado o resu

RESOLUÇÃO PUC-RJ 2008 - QUESTÃO SOBRE CONJUNTOS      ( PUC-RJ 2008 ) Um trem viajava com 242 passageiros, dos quais: • 96 eram brasileiros; • 64 eram homens; • 47 eram fumantes; • 51 eram homens brasileiros; • 25 eram homens fumantes; • 36 eram brasileiros fumantes; • 20 eram homens brasileiros fumantes; Calcule: a) o número de mulheres brasileiras não fumantes. b) o número de homens fumantes não brasileiros. c) o número de mulheres não brasileiras, não fumantes. RESOLUÇÃO      Utilizaremos, para este exercício, o diagrama de Venn.     Inicialmente, começamos desenhando 3 círculos para representar os 3 conjuntos citados neste exercício; o conjunto dos brasileiros, dos homens e dos fumantes. Esta ação é necessária para podermos responder as 3 alternativas.     Começaremos, como sempre, pelo centro do diagrama, ou seja, preencheremos a intersecção que abrange os três conjuntos. Em seguida, completaremos a outras intersecções. Logo, teremos o seguinte:     Chamamos de B o conjunto dos br

RESOLUÇÃO PUC-RJ 2010 - QUESTÃO SOBRE CONJUNTOS      ( PUC-RJ 2010 ) Sejam x e y números tais que os conjuntos {0, 7, 1} e {x, y, 1} são iguais. Então, podemos afirmar que: a) x = 0 e y = 5 b) x + y = 7 c) x = 0 e y = 1 d) x + 2 y = 7 e) x = y RESOLUÇÃO      Segundo o enunciado, os dois conjuntos apresentados são iguais. Por este motivo, podemos igualar seus elementos. Logo, temos que: {0, 7, 1} = {x, y, 1}     Sendo assim, podemos, também, efetuar as seguintes afirmações: 0 = x, 7 = y, 1= 1     Baseado nas associações acima,  analisemos as alternativas com atenção: — A) Errada por dizer que y = 5 , sendo que achamos, igualando os elementos dos conjuntos, que y vale 7 . — B) Correta, pois x + y = 0 + 7 = 7 . — C) Errada por afirmar que y vale 1 . — D) Errada ao somar 2 ao x , pois, altera o valor 0 . — E) Errada ao dizer o x é igual a y .      Logo, concluímos que a alternativa B representa o resultado correto desta questão.