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RESOLUÇÃO PUC-RJ 2005 - QUESTÃO SOBRE CONJUNTOS     ( PUC-RJ 2005 ) Se A, B e C são três conjuntos onde n (A) = 25, n (B) = 18, n (C) = 27, n (A ∩ B) = 9, n (B ∩ C) = 10, n (A ∩ C) = 6 e n (A ∩ B ∩ C) = 4, (sendo n (X) o número de elementos do conjunto X), determine o valor de n ((A U B) ∩ C). RESOLUÇÃO            Para acharmos o resultado equivalente a n((A U B) ∩ C), vamos, antes de tudo,  entender dois pontos importantes para a resolução deste problema .      O primeiro se refere a propriedade distributiva que usaremos na resolução deste problema. Tal propriedade nos diz que, quando temos um número multiplicando uma soma ou uma subtração, basta multiplicarmos separadamente cada termo e depois somarmos ou subtrairmos, dependendo do caso.      Essa técnica é muito conhecida como chuveirinho , pois o “distribuímos” a multiplicação “em cima” dos números dentro do parenteses. A seguir temos um exemplo:     Neste caso podíamos, primeiramente, ter somado 5 + 10 e depois multiplicado o resu

RESOLUÇÃO PUC-RJ 2008 - QUESTÃO SOBRE CONJUNTOS      ( PUC-RJ 2008 ) Um trem viajava com 242 passageiros, dos quais: • 96 eram brasileiros; • 64 eram homens; • 47 eram fumantes; • 51 eram homens brasileiros; • 25 eram homens fumantes; • 36 eram brasileiros fumantes; • 20 eram homens brasileiros fumantes; Calcule: a) o número de mulheres brasileiras não fumantes. b) o número de homens fumantes não brasileiros. c) o número de mulheres não brasileiras, não fumantes. RESOLUÇÃO      Utilizaremos, para este exercício, o diagrama de Venn.     Inicialmente, começamos desenhando 3 círculos para representar os 3 conjuntos citados neste exercício; o conjunto dos brasileiros, dos homens e dos fumantes. Esta ação é necessária para podermos responder as 3 alternativas.     Começaremos, como sempre, pelo centro do diagrama, ou seja, preencheremos a intersecção que abrange os três conjuntos. Em seguida, completaremos a outras intersecções. Logo, teremos o seguinte:     Chamamos de B o conjunto dos br

RESOLUÇÃO PUC-RJ 2010 - QUESTÃO SOBRE CONJUNTOS      ( PUC-RJ 2010 ) Sejam x e y números tais que os conjuntos {0, 7, 1} e {x, y, 1} são iguais. Então, podemos afirmar que: a) x = 0 e y = 5 b) x + y = 7 c) x = 0 e y = 1 d) x + 2 y = 7 e) x = y RESOLUÇÃO      Segundo o enunciado, os dois conjuntos apresentados são iguais. Por este motivo, podemos igualar seus elementos. Logo, temos que: {0, 7, 1} = {x, y, 1}     Sendo assim, podemos, também, efetuar as seguintes afirmações: 0 = x, 7 = y, 1= 1     Baseado nas associações acima,  analisemos as alternativas com atenção: — A) Errada por dizer que y = 5 , sendo que achamos, igualando os elementos dos conjuntos, que y vale 7 . — B) Correta, pois x + y = 0 + 7 = 7 . — C) Errada por afirmar que y vale 1 . — D) Errada ao somar 2 ao x , pois, altera o valor 0 . — E) Errada ao dizer o x é igual a y .      Logo, concluímos que a alternativa B representa o resultado correto desta questão.

RESOLUÇÃO FGV-RJ - QUESTÃO SOBRE CONJUNTOS      ( FGV-RJ 2016 ) Em uma pesquisa para estudar a incidência de três fatores de risco (A, B e C) para doenças cardíacas em homens, verificou-se que, do total da população investigada, 15% da população apresentava apenas o fator A; 15% da população apresentava apenas o fator B; 15% da população apresentava apenas o fator C; 10% da população apresentava apenas os fatores A e B; 10% da população apresentava apenas os fatores A e C; 10% da população apresentava apenas os fatores B e C; em 5% da população os três fatores de risco ocorriam simultaneamente.      Da população investigada, entre aqueles que não apresentavam o fator de risco A, a porcentagem dos que não apresentavam nenhum dos três fatores de risco é, aproximadamente: a) 20% b) 50% c) 25% d) 66% e) 33% RESOLUÇÃO      Para este exercício não é necessário o uso do clássico diagrama de Venn, no entanto, vamos adicioná-lo para termos noção dos conjuntos envolvidos no problema.      Como a

RESOLUÇÃO ESPM 2016 - QUESTÃO SOBRE CONJUNTOS      ( ESPM 2016 ) Em uma aula de Matemática, o professor propôs 2 problemas para serem resolvidos pela turma. 76% dos alunos resolveram o primeiro problema, 48% resolveram o segundo e 20% dos alunos não conseguiram resolver nenhum dos dois. Se apenas 22 alunos resolveram os dois problemas, pode-se concluir que o número de alunos dessa classe é: a) maior que 60. b) menor que 50. c) múltiplo de 10. d) múltiplo de 7. e) ímpar. RESOLUÇÃO      Este é um exercício padrão de conjuntos, logo, usaremos o famoso diagrama de Venn para a resolução.      No enunciado, o autor descreve apenas dois conjuntos : exercício 1 e exercício 2 . Sendo assim, nosso diagrama ira conter apenas dois conjuntos .    Quando usamos diagrama de Venn, começamos sempre pelo centro  (intersecção) . No entanto, neste exercício devemos tomar cuidado , pois o valor central nos foi fornecido, mas ele não está representado em porcentagem como os demais valores .       Desse mo

RESOLUÇÃO UEG 2019 - QUESTÃO SOBRE CONJUNTOS ( UEG 2019 ) Em uma pesquisa sobre a preferência para o consumo de dois produtos, foram entrevistadas 970 pessoas. Dessas, 525 afirmaram consumir o produto A, 250 o produto B e 319 não consomem nenhum desses produtos. O número de pessoas que consomem os dois produtos é: A) 124 B) 250 C) 525 D) 527 E) 775 RESOLUÇÃO      Esta é uma questão clássica de conjuntos, por este motivo, proponho usarmos o diagrama de Venn para a resolução.      Para este tipo de problema, é interessante começar preenchendo o diagrama pela intersecção, ou seja, aquele valor que representa as pessoas que pertencem aos dois conjuntos.      No entanto, este valor é o que este exercício quer que nós achemos . Por este motivo, chamaremos este valor central de X .      Em relação ao conjunto A, nos foi dito que 525 pessoas consumiam o produto. Porém, dessas 525 pessoas, uma porcentagem delas também consumiam o B . Tal porcentagem é representada pelo X .       Para sabermos

RESOLUÇÃO FATEC 2019 - QUESTÃO SOBRE CONJUNTOS      ( FATEC 2019 ) Entre as pessoas que compareceram à festa de inauguração da FATEC Pompeia, estavam alguns dos amigos de Eduardo. Além disso, sabe-se que nem todos os melhores amigos de Eduardo foram à festa de inauguração. Considere: F: conjunto das pessoas que foram à festa de inauguração. E: conjunto dos amigos de Eduardo. M: conjunto dos melhores amigos de Eduardo.        Com base nessas informações assinale a alternativa que contém o diagrama de Euler-Venn que descreve corretamente a relação entre os conjuntos. A) B) C) D) E) RESOLUÇÃO      Para esta questão, analisemos os três conjuntos apresentados no enunciado da questão. — F  conjunto das pessoas que foram à festa de inauguração: Este conjunto representa todas as pessoas que foram à festa , tanto as que conhecem o Eduardo como aquelas que não o conhecem. — E  conjunto dos amigos de Eduardo: Já este conjunto representa todos os amigos do Eduardo . Tal conjunto se dividem entre a

RESOLUÇÃO ALBERT EINSTEIN 2018 - QUESTÃO SOBRE CONJUNTOS      ( ALBERT EINSTEIN 2018 ) Um grupo de 180 turistas estão hospedados em um mesmo hotel no estado de São Paulo. As regiões Norte, Sul e Sudeste são as regiões do Brasil que já foram visitadas por pelo menos um desses turistas.  Desses turistas, 89 já estiveram na Região Sul e 78 já estiveram na Região Norte. Sabendo que 33 desses turistas só conhecem a Região Sudeste, o número desses turistas que já estiveram nas Regiões Norte e Sul é: a) 10 b) 13 c) 17 d) 20 RESOLUÇÃO      Usaremos o diagrama de Venn para a resolução deste exercício.      Ao preencher qualquer diagrama deste tipo, sempre comece pelo centro , ou seja, a intersecção que abrange todos os conjuntos .       No caso deste nosso problema, não temos o valor central que representa a intersecção entre todos os conjuntos, isto é, a quantidade de pessoas que já visitaram as três regiõe s. Então, adotaremos o X como incógnita para este valor desconhecido.      Perceba, tam