RESOLUÇÃO IF-RS 2017 - PROGRESSÃO ARITMÉTICA - MATEMÁTICA

    

RESOLUÇÃO IF-RS 2017 - QUESTÃO SOBRE PROGRESSÃO ARITMÉTICA

    (IFRS 2017) Na figura abaixo, temos uma sequência de retângulos, todos de altura a.  A base do primeiro retângulo é b e dos retângulos subsequentes é o valor da base do anterior mais uma unidade de medida. Sendo assim, a base do segundo retângulo é b+1 e do terceiro b+2 e assim sucessivamente.

    Considere as afirmativas abaixo.

I - A sequência das áreas dos retângulos é uma progressão aritmética de razão 1.

II - A sequência das áreas dos retângulos é uma progressão aritmética de razão a.

III - A sequência das áreas dos retângulos é uma progressão geométrica de razão a.

IV - A área do enésimo retângulo (An) pode ser obtida pela fórmula An = a . (b + n - 1).

    Assinale a alternativa que contém a(as) afirmativa(s) correta(s).

    

a) I.

b) II.

c) III.

d) II e IV.

e) III e IV.

RESOLUÇÃO

    Proponho começarmos relembrando o cálculo da área de um retângulo, pois o exercício trata da progressão envolvendo uma dos lados de tal figura geométrica.

    Como sabemos, a área de um retângulo é dado pela multiplicação da base (b) pela altura (a).

b.a

    Sendo assim, calculemos as áreas dos retângulos da figura fornecida pelo exercício.

a.b

a.(b+1) = a.b + a

a.(b+2) = a.b + 2.a

    Ao olharmos para o resultado dos cálculos da área, podemos notar uma certa semelhança com uma progressão geométrica, pois a cada retângulo novo formado, um valor a é adicionado a fórmula da área.

    Podemos, com isso, eliminar o item I, uma vez que ele afirma que a sequência se refere a uma progressão de razão 1.

    No entanto, é possível notar que o item II está correto, pois ele afirma que a sequência é uma progressão aritmética de razão a.

    Analisando o item III, notamos que também podemos eliminá-lo, visto que descobrimos que a sequência é uma progressão aritmética e não geométrica como é afirmado.

    Em relação ao último item, temos que:

    Para calcularmos o enésimo termo de uma P.A., recorremos à fórmula de termo geral. Tal fórmula é dada por:

an = a1 + (n - 1)r

    Substituindo os valores, ficaremos com:

an = a.b + (n - 1)a

    Aplicamos a distributiva:

an = a.b + an - a

    Colocando o a em evidência, temos:

an = a.(b + n - 1)

    Logo, concluímos que o item IV tempos está correto. Portanto, a alternativa B representa a correta.