RESOLUÇÃO PUC-RJ 2005 - CONJUNTOS - MATEMÁTICA

RESOLUÇÃO PUC-RJ 2005 - QUESTÃO SOBRE CONJUNTOS

    (PUC-RJ 2005) Se A, B e C são três conjuntos onde n (A) = 25, n (B) = 18, n (C) = 27, n (A ∩ B) = 9, n (B ∩ C) = 10, n (A ∩ C) = 6 e n (A ∩ B ∩ C) = 4, (sendo n (X) o número de elementos do conjunto X), determine o valor de n ((A U B) ∩ C).

RESOLUÇÃO

        Para acharmos o resultado equivalente a n((A U B) ∩ C), vamos, antes de tudo, entender dois pontos importantes para a resolução deste problema.

    O primeiro se refere a propriedade distributiva que usaremos na resolução deste problema. Tal propriedade nos diz que, quando temos um número multiplicando uma soma ou uma subtração, basta multiplicarmos separadamente cada termo e depois somarmos ou subtrairmos, dependendo do caso.

    Essa técnica é muito conhecida como chuveirinho, pois o “distribuímos” a multiplicação “em cima” dos números dentro do parenteses. A seguir temos um exemplo:

    Neste caso podíamos, primeiramente, ter somado 5 + 10 e depois multiplicado o resultado por 2, no entanto, tal propriedade é interessante quando temos uma incógnita no lugar de algum número. 

    Está propriedade distributiva também pode ser aplicada quando estamos trabalhando com conjuntos. A baixo temos algumas propriedades listadas:

    Assim como na distributiva que vimos acima, neste caso também podemos aplicar a propriedade do chuveirinho. Para n((A U B) ∩ C), tal propriedade ficaria assim:

n((A U B) ∩ C) = n(A ∩ B) + n(B ∩ C)

    No entanto, apenas isso não basta para resolvermos este exercício, pois temos um problema de repetição de número comuns e este é o segundo ponto que precisamos conversar.

    Toda vez que somamos ou unimos os números de dois conjuntos, temos que, ao final de tudo, subtrair a intersecção destes mesmo conjuntos, pois assim garantimos que os números em comum não sejam contados duas vezes. Abaixo temos um exemplo.

A = {1,2,3}, B = {3,4,5}

A U B {1,2,3,3,4,5} — errado

A U B {1,2,3,4,5} — certo

    Note que A e B possuem 1 elemento em comum que é o número 3. Na primeira união entre os conjuntos A e B o 3 foi repetido, ou seja, não foi feita a subtração de um elemento repetido. Na segunda união, e a correta, foi feita a subtração de um dos elementos repetidos.

    

    Logo, esse exemplo nos mostra que a união não basta se não efetuarmos a subtração da quantidade de elementos em comum. Sendo assim, teremos então:

n((A U B) ∩ C) = n(A ∩ B) + n(B ∩ C) - n(A ∩ B ∩ C)

    Feito isso, basta, agora, substituirmos os valores dados no enunciado e resolvermos esta equação para chegarmos no resultado do exercício. Posto isso, ficaremos, então, com:

n((A U B) ∩ C) = n(A ∩ B) + n(B ∩ C) - n(A ∩ B ∩ C)

n((A U B) ∩ C) = 6 + 10 - 4

n((A U B) ∩ C) = 16 - 4

n((A U B) ∩ C) = 12

    Portanto, 12 representa o resultado para esta questão.