RESOLUÇÃO UERJ 2010 - TRIGONOMETRIA - MATEMÁTICA

RESOLUÇÃO UERJ 2010 - QUESTÃO SOBRE CONJUNTOS

    (UERJ 2010) Um triângulo tem lados 3, 7 e 8. Um dos seus ângulos é igual a:

a) 30º 
b) 45º 
c) 60º
d) 90º
e) 120º

RESOLUÇÃO

    Usaremos, para a resolução deste exercício, a Lei dos Cossenos.

    A lei dos cossenos é uma expressão matemática (fórmula) que relaciona os lados e ângulos de um triangulo qualquer. Podemos, com ela, calcular um lado ou angulo de um triângulo qualquer sabendo as outras medidas.

    Quando não temos um triângulo retângulo, a lei dos cossenos se torna muito útil para a resolução de problemas. 

    Vamos, então, imaginar um triângulo qualquer. Agora, coloquemos os valores dados no enunciado e depois nomes em cada um dos ângulos e lados deste nosso triangulo. 

    Em nossa resolução, chamaremos os ângulos internos de α, β e Ф. Feito isso, basta relacionarmos cada ângulo interno com o lado oposto dos ângulos.

    Ao oposto do ângulo β, colocaremos o lado 7 e chamaremos de lado B. Ao lado de α, ficará o 8  e o chamaremos de A, restando Ф para 3 sendo igual a C.

    Com isso, temos o seguinte triângulo:

    Temos, pela lei dos cossenos, que: 

B² = A² + C² - 2.A.C.cosβ

    Basta, agora, substituirmos cada valor na fórmula. Ficaremos, então, com:

 7² = 8² + 3³ - 2.8.3.cosβ 

49 = 64 + 9 - 48.cosβ

49 - 73 = -48cosβ

-24 = -48cosβ x(-1)

24 = 48cosβ

24/48 = cosβ

1/2 = cosβ

    Do início da trigonometria, o ângulo que tem que cos = 1/2 é igual 60º. Portanto, concluímos que a alternativa C representa a resposta correta.