RESOLUÇÃO UEFS 2018 - CONJUNTOS - MATEMÁTICA

(UEFS 2018) Em uma empresa com 33 funcionários, 22 são fluentes em italiano, 14 são fluentes em alemão e 27 são fluentes em francês. Sabe-se que todos os funcionários são fluentes em pelo menos uma dessas línguas e que, no total, 18 desses funcionários são fluentes em exatamente duas dessas línguas. O número de funcionários nessa empresa que são fluentes nessas três línguas é:

RESOLUÇÃO UEFS 2018 - QUESTÃO SOBRE CONJUNTOS

    (UEFS 2018) Em uma empresa com 33 funcionários, 22 são fluentes em italiano, 14 são fluentes em alemão e 27 são fluentes em francês. Sabe-se que todos os funcionários são fluentes em pelo menos uma dessas línguas e que, no total, 18 desses funcionários são fluentes em exatamente duas dessas línguas. O número de funcionários nessa empresa que são fluentes nessas três línguas é:

a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6

RESOLUÇÃO

    Utilizaremos, para a resolução deste exercício, o diagrama de Venn, pois ele auxiliará a compreendermos a resolução.    


    Nosso diagrama possuirá três conjuntos, cada um deles representando uma linguá diferente: italiano (I), alemão (A) e francês (F).


    Como não temos dados suficientes para preenchermos nosso diagrama, usaremos incógnitas para representarmos os valores.


    Veja a imagem anexada para compreender a explicação.

(UEFS 2018) Em uma empresa com 33 funcionários, 22 são fluentes em italiano, 14 são fluentes em alemão e 27 são fluentes em francês. Sabe-se que todos os funcionários são fluentes em pelo menos uma dessas línguas e que, no total, 18 desses funcionários são fluentes em exatamente duas dessas línguas. O número de funcionários nessa empresa que são fluentes nessas três línguas é:


    Com o nosso diagrama preenchido pelas incógnitas, o próximo passo é tentar, por meio das informações fornecidos no enunciado, equacionar os dados do diagrama.   

    Primeiramente, sabemos que a empresa possui 33 funcionários, onde todos são fluentes em pelo menos 1 das 3 línguas. Ou seja, a soma de todas as nossas incógnitas vale 33:

(equação principal)

    Após obtermos a primeira equação, o próximo passo é, por meio das informações fornecidas pelo exercício, equacionar outros dados para complementarmos a equação principal.

    Sendo assim, podemos notar que, conforme o enunciado, 18 funcionários são fluentes em exatamente duas dessas línguas. Logo, temos que:


    Feito isso, ainda precisamos encontrar os valores de r, s e t, pois eles representam os valores dos funcionários que falam exclusivamente 1 linguá. 

    O valor exclusivo de r (ou de pessoas que falem apenas italiano) é dado pela subtração de y, x e w de 22, pois 22 representa o pessoal que falem apenas italiano + pessoas que falam italiano e alemão + pessoas que falam italiano e francês + pessoas que falam italiano, alemão e francês.

    A ideia se repete para s e t, tendo como resultado:


    Podemos, agora, voltarmos na equação principal e substituirmos todas as outras equações encostradas:


        
    Portanto, 6 representa o número de funcionários fluentes nas três linguás.

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