RESOLUÇÃO ALBERT EINSTEIN 2018 - CONJUNTOS - MATEMÁTICA

RESOLUÇÃO ALBERT EINSTEIN 2018 - QUESTÃO SOBRE CONJUNTOS

    (ALBERT EINSTEIN 2018) Um grupo de 180 turistas estão hospedados em um mesmo hotel no estado de São Paulo. As regiões Norte, Sul e Sudeste são as regiões do Brasil que já foram visitadas por pelo menos um desses turistas. Desses turistas, 89 já estiveram na Região Sul e 78 já estiveram na Região Norte. Sabendo que 33 desses turistas só conhecem a Região Sudeste, o número desses turistas que já estiveram nas Regiões Norte e Sul é:

a) 10

b) 13

c) 17

d) 20

RESOLUÇÃO

    Usaremos o diagrama de Venn para a resolução deste exercício.

    Ao preencher qualquer diagrama deste tipo, sempre comece pelo centro, ou seja, a intersecção que abrange todos os conjuntos. 

    No caso deste nosso problema, não temos o valor central que representa a intersecção entre todos os conjuntos, isto é, a quantidade de pessoas que já visitaram as três regiões. Então, adotaremos o X como incógnita para este valor desconhecido.

    Perceba, também, que não temos informações que contemplem as intersecções N + S, N + SD ou S + SD (intersecções que representam pessoas que já visitaram duas regiões). 

    Inclusive, a intersecção N + S, junto com a S + N + SD são os valores que procuramos, pois elas abrangem as pessoas que já viajaram tanto para o Norte quanto para o Sul. Logo, adotaremos, também, incógnitas para essas intersecções. 

    Ao analisarmos o resto do enunciado, percebemos, também, que não podemos afirmar quantas pessoas visitaram exclusivamente o Norte e o Sul. 

    Porém, o enunciado nos diz que 33 pessoas visitaram unicamente o Sudeste. Desse modo, para N e S também usaremos incógnitas, com SD sendo o único valor do nosso diagrama.

    Temos, agora, incógnitas que representam todos os valores, tanto das intersecções quanto dos valores “puros”. 

    Sabendo disso, podemos montar uma equação, pois a soma de todas essas incógnitas + 33 vale 180, como dito no enunciado. Logos, temos que:

X + Y + Z + W + R + S + 33 = 180 (equação principal)

    Com a equação acima, podemos buscar os valores de todas as incógnitas. 

    No entanto, apenas duas incógnitas nos interessa, a soma entre W + X, pois estas representam o número de turistas que estiveram tanto no Norte quanto no Sul. Sendo assim, vamos atrás de complementar nossa equação acima. 

— turistas que visitaram apenas o norte;

R representa os turistas que conheceram apenas o norte, ou seja, um valor “puro”, sem a presença de intersecções. Para tal situação, podemos montar a seguinte equação:

NORTE = R + W + X + Y

78 = R + W + X + Y

R = 78 - W - X - Y (equação I)

— turistas que visitaram apenas o sul;

    A incógnita S, assim como a R, representa um valor “puro”, ou seja, apenas os turistas que viajaram até o sul do país. Para esta condição, podemos pensar de forma semelhante ao modo que obtemos a equação 1. Temos, então:

SUL = S + W + X + Z

89 = S + W + X + Z

S = 89 - W - X - Z (equação II)

    Munidos de mais duas equações, podemos, agora, substituir as equações I e II na equação principal.

                                              X + Y + Z + W + R + S + 33 = 180

                          X + Y + Z + W + 78 - W - X - Y + 89 - W - X - Z + 33 = 180

                                                         200 - W - X = 180

                                                         200 - 180 = W + X

                                                               W + X = 20

    Concluímos, portanto, que 20 representa o número de turistas que já visitaram as regiões Norte e Sul país.